Matematyka Wedyjska

Chciałbyś w pamięci wykonywać obliczenia matematyczne i zaskakiwać rówieśników lub nawet nauczycieli w szkole? Zapoznaj się z kilkoma przydatnymi zasadami matematyki wedyjskiej, która charakteryzuje się spójną strukturą, zaś jej metody są komplementarne, bezpośrednie i łatwe. Nie sposób docenić efektywności matematyki wedyjskiej bez wypróbowania tego systemu. Ktoś, kto tego dokona, z łatwością zauważy, że jest to prawdopodobnie najefektywniejszy i najbardziej wyrafinowany z możliwych systemów obliczeń matematycznych.

Czym jest matematyka wedyjska? Matematyka Wed to nazwa, którą nadano starożytnemu systemowi matematycznemu, powtórnie odkrytemu w latach 1911 - 1918 przez Śri Bharati Kriszna Tirthaji ( 1884-1960 ), który był badaczem sanskrytu (języka starożytnych Indii), matematykiem, historykiem i filozofem. W wyniku badań tekstów wedyjskich zrekonstruował on matematykę wedyjską. Ustalił, że całość zasad matematyki wedyjskiej opiera się na 16 tzw. sutrach lub formuła słownych, które opisują naturalny sposób działania naszego rozumu i stąd stanowią wielką pomoc dla uczniów w znajdowaniu właściwej metody rozwiązania.

Współcześnie system wedyjski jest nauczany w większości szkół w Indiach, a w resorcie edukacji na całym świecie rośnie coraz większe zainteresowanie tym systemem. Niejednokrotnie nauczyciele matematyki odkrywają, że metody matematyki wedyjskiej są odpowiedzią na ich problemy w nauczaniu.
Magia matematyki wedyjskiej stanowiła przez długi czas ukryty skarb Hinduizmu, zawierający inteligentną matematyczną wiedzę, która obecnie jest dostępna dla każdego kto ma chęci aby z niej skorzystać.

System matematyki wedyjskiej opiera się na koncepcji jedności, co sprowadza się do wykorzystywania podstaw liczbowych odpowiadających liczbom bazowym: 0, 10, 100, 1000, 10000 itd., które sumują się do jedności. Nie sposób w jednym artykule opisać cały system matematyki wedyjskiej, dla której zbadania Bharati Kriszna poświęcił kilka lat, jednak spróbujemy przybliżyć kilka najprostszych formuł - sutr z matematyki wedyjskiej, mogących niektórym znacznie ułatwić życie :) .

Mnożenie liczb

Pierwszą z formuł jaką opiszemy to sutra "pionowo i na krzyż", która ma wielu miłośników wśród uczniów mających problemy z tabliczką mnożenia powyżej 5 × 5.

Przykład 1. Mnożymy 7 × 8. Najpierw określamy z jaką działamy liczbą bazową. Cyfry 7 i 8 są bliskie liczbie 10, zatem naszą bazą - podstawą jest 10. Ustalamy niedostatek - różnicę naszych mnożonych cyfr z liczbą bazową i tak: dla cyfry 8 różnica do 10 stanowi 2, natomiast dla 7 różnica wynosi 3. Nasze cyfry zapisujemy następująco i wykonujemy działania w dwóch cyklach:

Reasumując - w rozwiązaniu otrzymaliśmy liczbę 56, która jest wynikiem mnożenia cyfr 7 × 8.

Przykład 2. Mnożymy 5 × 6. Tutaj oczywiście też działamy z liczbą bazową 10 i jak wyżej ustalamy różnicę mnożonych cyfr z liczbą bazową i tak: dla cyfry 5 różnica do 10 stanowi 5, natomiast dla 6 różnica wynosi 4. Zatem nasze działanie zapisujemy i wykonujemy następująco:

Reasumując - w rozwiązaniu otrzymaliśmy liczbę 30, która jest wynikiem mnożenia cyfr 5 × 6.

To były przykłady dla uczniów mających problemy z mnożeniem cyfr powyżej 5 × 5. Teraz spróbujmy czegoś trudniejszego.

Przykład 3. Mnożymy liczby 96 × 92. Liczby te są bliskie 100, czyli działamy w zakresie liczby bazowej 100. Analogicznie jak wyżej ustalamy różnicę naszych mnożonych liczb do liczby bazowej i tak: dla liczby 96 różnica do 100 stanowi 4, natomiast dla 92 różnica wynosi 8. Nasze działania zapisujemy następującą i korzystamy z formuły "pionowo i na krzyż":

W rozwiązaniu otrzymaliśmy liczbę 8832, która jest wynikiem mnożenia liczb 96 × 92.

Uwaga! Zauważmy, że mimo iż wynik mnożenia - "pionowo" jest dwucyfrowy, nie przenosimy "w pamięci" cyfry pierwszej do wyniku następnego działania "na krzyż". Taka zasada obowiązuje jeżeli działamy w zakresie liczby bazowej 100 - czyli liczby z dwoma zerami. To znaczy, że w przypadku gdyby wyniku mnożenia liczb pionowo otrzymalibyśmy wynik jedno cyfrowy np. 8, to musielibyśmy zapisać go dwucyfrowo czyli np. 08. Taka sytuacja będzie miała miejsce podczas mnożenia liczb np. 99 × 97 którego wynikiem jest liczba 9603.

W przypadku gdy w wyniku mnożenia "pionowo" otrzymalibyśmy wynik trzy cyfrowy to również zapisujemy tylko dwie ostatnie cyfry, natomiast pierwszą cyfrę przenosimy w pamięci i dodajemy do wyniku działania ""na krzyż". Taka sytuacja będzie miała miejsce np. w mnożeniu liczb 109 × 112 - zgodnie z zasadą podaną w przykładzie 4.
Analogiczna sytuacja będzie miała miejsce w przypadku działania w zakresie liczb bazowych 1000, 10000 itd.

Przykład 4. Spróbujmy pomnożyć teraz liczby większe od naszej liczby bazowej 100 np. liczby 105 × 111. Liczby te są bliskie 100, czyli działamy w zakresie liczby bazowej 100. Różnica naszych mnożonych liczb do liczby bazowej wynosi 5 dla liczby 105 i 11 liczby 111. W tym wypadku działania są podobne - "pionowo i na krzyż" z tym, że w działaniu "na krzyż" sumujemy:

Naszym rozwiązaniem jest liczba 11655, która jest wynikiem mnożenia liczb 105 × 111.

Przykład 5. Przedstawimy teraz jak działamy jeżeli nasze mnożone liczby są bliskie wielokrotności liczby bazowej, np. liczby 205 × 212, są bliskie liczbie 200, która jest wielokrotnością liczby bazowej 100. W takim przypadku działamy analogicznie jak w przykładzie 4, z tą różnicą, że wynik dziania "na krzyż" mnożymy razy 2 z uwagi, iż 200 jest dwukrotnością liczby 100. Ponieważ teraz naszą liczbą bazową jest 200, ustalamy różnicę mnożonych liczb do liczby 200. Działania przedstawiają się następująco:

Naszym rozwiązaniem jest liczba 23460, która jest wynikiem mnożenia liczb 205 × 212.
Analogiczna sytuacja będzie miała miejsce dla liczb bliskich 300, 400 itp.

Przykład 6. Spróbujmy pomnożyć liczby dowolne "dalekie" od naszych liczb bazowych - np.  32 × 44. Tutaj nie korzystamy z liczb bazowych - po prostu mnożymy "pionowo i na krzyż":

Reasumując - w rozwiązaniu otrzymaliśmy liczbę 1408, która jest wynikiem mnożenia cyfr 32 × 44.

Podnoszenie do kwadratu liczb bliskich podstawie

Podnosząc do kwadratu liczby bliskie liczbą bazowym skorzystamy z sutry "poprzez niedostatek - jakakolwiek jest różnica, zmniejszyć ją dalej i ustanowić kwadrat szukanej liczby". Brzmi to z pewnością trochę "tajemniczo", ale z łatwością daje rozwiązanie. Spójrzmy na przykłady.

Przykład 7. Znajdźmy kwadrat liczby 98 ( 98² lub 98 × 98 ). Z powyższych przykładów już wiemy, że działamy w zakresie liczby bazowej 100. Zatem najpierw znajdujemy niedostatek naszej liczby podnoszonej do kwadratu do liczby bazowej, czyli po prostu różnicę liczby 100 z liczbą 98, która wynosi 2. Działania wykonujemy w dwóch cyklach: od naszej podstawy kwadratu odejmujemy niedostatek do liczby 100, czyli 98 - 2 = 96, następnie różnicę - niedostatek - cyfrę 2 podnosimy do kwadratu 2² = 4. Z uwagi iż działamy w zakresie liczby bazowej 100, to wynik działania na liczbach "niedostatkach" czyli różnicach do liczby bazowej powinien być dwucyfrowy. Zatem 2² = 04. Teraz tylko "składamy" wyniki naszych działań i otrzymujemy rozwiązanie 98² = 9604.

Przykład 8. Kolejne zadanie - kwadrat liczby 96 ( 96 ² lub 96 × 96 ). Niedostatek do liczby bazowej wynosi 4 i działamy analogicznie jak wyżej:

Przykład 9. Kwadrat liczby 88 ( 88² lub 88 × 88 ). Niedostatek do liczby bazowej wynosi 12, działamy zgodnie z naszą zasadą z tym, że z powodu iż wynik kwadratu naszej różnicy do liczby bazowej, czyli 12 ² = 144 jest trzy cyfrowy, cyfrę 1 przenosimy i dodajemy do wyniku uzyskanego w pierwszym cyklu działania, zgodnie z przykładem:

Przykład 10. Spójrzmy jaka zasada obowiązuje gdy liczba podnoszona do kwadratu jest większa od podstawy? Obliczmy kwadrat liczby 104 ( 104 ² lub 104 × 104 ). Niedostatek - w tym przypadku nadmiar - do liczby bazowej wynosi 4. Działamy podobnie jak wyżej, tylko tutaj dodajemy naszą różnice do liczby bazowej:

Przykład 11. Konsekwentnie postępujemy obliczając kwadrat liczby 997 ( 997 ²2 lub 997 × 997 ). W tym przypadku naszą podstawą jest liczba 1000, do której niedostatek wynosi 3. Działania przedstawiają się następująco:

Podnoszenie do kwadratu liczb kończących się cyfrą  5

Demonstrując kolejne zasady i prostotę systemu wedyjskiego, w celu znalezienia wyniku kwadratu liczb kończących się cyfrą "5", skorzystamy z formuły "przez jeden więcej niż poprzednia".

Przykład 12. Obliczamy kwadrat liczby 75 ( 75² lub 75 × 75 ). Zgodnie z naszą sutrą szukamy cyfry "poprzedniej", czyli w naszym przypadku jest to cyfra 7. Następnie ustalamy cyfrę - w myśl formuły o "jeden więcej" - czyli w naszym przypadku jest to cyfra 8. Słowo "przez" oznacza tutaj "pomnożyć". Zatem 7 × 8 = 56. Otrzymany wynik składamy z liczbą 25, która w każdym przypadku stanowi zakończenie rozwiązania kwadratu z liczb kończących się cyfrą "5". Reasumując: 75²= 5625.

Podobnie działamy podnosząc do kwadratu inne liczby kończące się cyfrą "5".

Przykład 13.

Mnożenie liczb przez 11

Mnożąc jakąkolwiek dwucyfrową liczbę przez 11 dodajemy cyfry składowe tej liczby i wynik wstawiamy pomiędzy te liczby.

Przykład 14. Mnożymy 25 × 11. Najpierw dodajemy cyfry składowe 2 + 5 = 7. Wynik wstawiamy pomiędzy cyfry składowe 2 i 5, czyli w rozwiązaniu działania 25 × 11 otrzymujemy liczbę 275.

Przykład 15. Gdy mnożymy liczbę trzy cyfrową przez 11, to dodajemy najpierw parę pierwszych cyfr tej liczby, następnie parę ostatnich cyfr tej liczby, a wyniki kolejno umieszczamy pomiędzy pierwszą i ostatnią cyfrą tej liczby. Rozwiążmy przykład 234 × 11. Najpierw sumujemy pierwszą parę cyfr: 2 + 3 = 5, następnie suma końcowej pary cyfr:  3 + 4 = 7. Wyniki wstawiamy pomiędzy pierwszą i ostatnią cyfrę liczby mnożonej i otrzymujemy wynik działania  234 × 11 = 2574.

Przykład 16. Pomnóżmy teraz 79 × 11. Zgodnie z zasadą sumujemy liczby składowe 7 + 9 = 16. Ponieważ teraz otrzymaliśmy liczbę dwucyfrową, pozostawiamy 6, natomiast 1 przenosimy i dodajemy do pierwszej cyfry rozwiązania naszego przykładu. Czyli mieliśmy wynik dodawania wstawić pomiędzy cyfry 7 i 9, ale w tym wypadku do 7 dodajemy 1. W rezultacie otrzymujemy 79 × 11 = 869.

Opracowano na podstawie artykułu umieszczonego w dwumiesięczniku "Nexus" nr 1(33), styczeń-luty 2004r.

RGM