Znaki funkcji trygonometrycznych w poszczególnych ćwiartkach

I ćwiartka II ćwiartka III ćwiartka IV ćwiartka

wierszyk ułatwiający zapamiętanie:

W pierwszej ćwiartce wszystkie są dodatnie
w drugiej sinus
w trzeciej tangens i cotangens
w czwartej cosinus

sinα + +
cosα + +
tgα + +
ctgα + +
 

Własności funkcji trygonometrycznych w trójkącie prostokątnym

α , β - kąty ostre w trójkącie prostokątnym,

c - przeciwprostokątna,

a - przyprostokątna - bok trójkąta przeciwległy kątowi α
(przyprostokątna przyległa do kąta β )

b - przyprostokątna - bok trójkąta przeciwległa kątowi β
(przyprostokątna przyległa do kąta α )

Sinusem kąta ostrego α w trójkącie prostokątnym nazywamy stosunek długości przyprostokątnej przeciwległej temu kątowi do długości przeciwprostokątnej.

Cosinusem kąta ostrego α w trójkącie prostokątnym nazywamy stosunek długości przyprostokątnej przyległej do tego kąta do długości przeciwprostokątnej.

Tangensem kąta ostrego α w trójkącie prostokątnym nazywamy stosunek długości przyprostokątnej przeciwległej temu kątowi do długości drugiej przyprostokątnej.

Cotangensem kąta ostrego α w trójkącie prostokątnym nazywamy stosunek długości przyprostokątnej przyległej do tego kąta do długości drugiej przyprostokątnej.

 

Funkcje trygonometryczne kąta dowolnego

α - miara kąta skierowanego

|OP| - promień wodzący punktu P gdzie P = (x, y)

P - jest dowolnym punktem leżącym na końcowym ramieniu kąta skierowanego α


x ≠ 0

y ≠ 0
 

Wzory redukcyjne w funkcjach trygonometrycznych

I ćwiartka II ćwiartka III ćwiartka IV ćwiartka
gdy φ = α + α α + α α + α α
90o α 90o + α 180o α 180o + α 270o α 270o + α 360o α
sin φ = cosα cosα sinα - sinα - cosα - cosα - sinα
cos φ = sinα - sinα - cosα - cosα - sinα sinα cosα
tg φ = ctgα - ctgα - tgα tgα ctgα - ctgα - tgα
ctg φ = tgα - tgα - ctgα ctgα tgα - tgα - ctgα
 

Zależności pomiędzy funkcjami trygonometrycznymi tego samego kąta

Funkcje trygonometryczne tego samego kąta
sin2α + cos2α = 1 (tzw. jedynka trygonometryczna) ctgα = , gdy sinα ≠ 0 i cosα ≠ 0
tgα = , gdy cosα ≠ 0 i sinα ≠ 0 tgα · ctgα = 1  , gdy sinα ≠ 0 i cosα ≠ 0
Funkcje trygonometryczne podwojonego kąta
sin2α = 2sinα · cosα tg2α = , gdy cosα ≠ 0 i cos2α ≠ 0
cos2α = cos2α - sin2α = 1 - 2sin2α = 2cos2α - 1 ctg2α = , gdy sinα ≠ 0 i sin2α ≠ 0
Funkcje trygonometryczne potrojonego kąta
sin3α = sinα ( 3cos2α - sin2α ) = sinα ( 3 - 4sin2α ) tg3α = , gdy cosα ≠ 0 i cos3α ≠ 0
cos3α = cosα ( cos2α - 3sin2α ) = cosα ( 4cos2α -3) ctg3α = , gdy sinα ≠ 0 i sin3α ≠ 0
Funkcje trygonometryczne połowy kąta

znak "+" lub "-" zależny jest od tego, do której ćwiartki należy końcowe ramię kąta
, gdy sinα ≠ 0
, gdy sinα ≠ 0
 

Strona 2 z 3

Free business joomla templates

Informujemy, iż w celu optymalizacji treści dostępnych w naszym serwisie, dostosowania ich do Państwa indywidualnych potrzeb korzystamy z informacji zapisanych za pomocą plików cookies na urządzeniach końcowych użytkowników. Pliki cookies użytkownik może kontrolować za pomocą ustawień swojej przeglądarki internetowej. Dalsze korzystanie z naszego serwisu internetowego, bez zmiany ustawień przeglądarki internetowej oznacza, iż użytkownik akceptuje stosowanie plików cookies. Więcej na ten temat można przeczytać w polityce prywatności.