● Pojęcie, które przyjmuje się bez definicji nazywamy pojęciem pierwotnym. |
● Pojęcie pierwotne w geometrii, to punkt, prosta, płaszczyzna, przestrzeń. |
● Aksjomat to zdanie, którego prawdziwość przyjmuje się bez dowodu. |
Przykłady aksjomatów w geometrii płaszczyzny: ![]() - Przez każde dwa różne punkty przechodzi dokładnie jedna prosta. - Przez punkt nie leżący na prostej l przechodzi dokładnie jedna prosta k równoległa do prostej l , to tzw. aksjomat Euklidesa. |
Przykłady aksjomatów w geometrii przestrzeni: - Przez każde dwa punkty przestrzeni przechodzi nieskończenie wiele płaszczyzn. - Przez każde trzy punkty, nie należące do jednej prostej, przechodzi dokładnie jedna płaszczyzna. - Przez punkt nie leżący na płaszczyźnie α przechodzi dokładnie jedna płaszczyzna β równoległa do płaszczyzny α . |
Figura płaska |
● Każdy zbiór punktów płaszczyzny nazywamy figurą. ● Figura płaska jest ograniczona, gdy istnieje koło, w którym ta figura się zawiera. ● Figura płaska jest nieograniczona, gdy nie jest zawarta w żadnym kole. |
Figura przestrzenna |
● Każdy zbiór punktów przestrzeni nazywamy figurą przestrzenną. ● Figura przestrzenna jest ograniczona, gdy istnieje kula, w której ta figura się zawiera. ● Figura przestrzenna jest nieograniczona, gdy nie jest zawarta w żadnej kuli. |
Figura wypukła |
● Figurę nazywamy wypukłą jeżeli każdy odcinek, którego końce należą do figury zawiera się w tej figurze. |
Figury przystające |
● Figury f1 i f2 nazywamy figurami przystającymi ( f1 ≡ f2 ), gdy istnieje izometria przekształcająca figurę f1 |
Figury podobne |
● Figury f1 i f2 nazywamy figurami podobnymi ( f1 ~ f2 ), gdy istnieje podobieństwo przekształcające figurę f1 |
Współrzędne punktu | |||||||||||
punkty oznaczamy : A, B, C ... , A = ( xA ,yA ) - punkt A o współrzędnych xA , yA. | |||||||||||
Na osi: | Na płaszczyźnie: | W przestrzeni: | |||||||||
![]() |
![]() |
![]() |
|||||||||
Odległość między dwoma punktami | |||||||||||
● Odległość między dwoma punktami A i B oznaczamy symbolem |AB| | |||||||||||
|
|||||||||||
● Punkt C leży między punktami A i B , gdy |AB|= |AC|+|CB| | |||||||||||
● Trzy punkty A, B, C są współliniowe - to znaczy leżą na jednej prostej - jeśli spełniony jest jeden z trzech warunków: | |||||||||||
![]() |AC|= |AB| + |BC| |
lub |AB|= |AC| + |CB| |
lub |BC|= |BA| + |AC| |
|||||||||
Odległość punktów w układzie współrzędnych | |||||||||||
Na płaszczyźnie: | W przestrzeni: | ||||||||||
![]() |
![]() |
Odległość punktu od prostej | |
● Odległość d punktu P od prostej l jest równa odległości tego punktu od jego rzutu prostokątnego P' na prostą l. |
![]() |
Odległość punktu od prostej w układzie współrzędnych na płaszczyźnie | |
równanie prostej l : Ax + By + C = 0 gdzie A 2 + B 2 > 0 Jeżeli | P,l | = | PP' | = d , to ![]() |
![]() |
Równanie ogólne prostej | |
postać równania l : Ax + By + C = 0 A, B, C - współczynniki liczbowe równania prostej, Jeżeli B ≠ 0 i A = 0 , to l : |
![]() l : Ax + By + C = 0 |
Równanie kierunkowe prostej | |
postać równania l : y = ax + b gdzie: ![]() ![]() A, B, C - współczynniki liczbowe równania prostej w postaci ogólnej. a = tgα - współczynnik kierunkowy |
![]() |
● Równania prostej prostopadłej do osi OX nie można przedstawić w postaci kierunkowej. | |
Równanie prostej przechodzącej przez punkt A płaszczyzny | |
postać równania l : y − yA = a ( x − xA ) a - współczynnik kierunkowy prostej l . a = tgα |
![]() |
Równanie prostej przechodzącej przez dwa różne punkty A i B płaszczyzny | |
postać równania prostej l : ![]() gdy : ![]() |
![]() |
postać równania prostej k : x = a , gdy: xA = xB = a | ![]() |
Proste przecinające się | ![]() |
● Prostymi przecinającymi się nazywamy proste, które mają dokładnie jeden punkt wspólny. | |
Proste równoległe | ![]() |
● Prostymi równoległymi nazywamy proste, które leżą na jednej płaszczyźnie i nie mają punktów wspólnych albo proste, które się pokrywają. |
|
● Proste pokrywające się to proste, które mają wszystkie punkty wspólne. | |
Proste skośne | ![]() |
● Proste l i k w przestrzeni nazywamy skośnymi, jeżeli nie leżą na jednej płaszczyźnie - nie mają punktów wspólnych i nie są równoległe. |
|
● Proste leżące na jednej płaszczyźnie mogą być równoległe lub przecinające się. | |
● Proste w przestrzeni mogą być równoległe, przecinające się lub skośne. | |
Kierunek prostych | ![]() |
● Zbiór wszystkich prostych równoległych do prostej l nazywamy kierunkiem prostej l i oznaczamy ( l ). |
|
Pęk prostych | ![]() |
● Pękiem prostych o wierzchołku A nazywamy zbiór wszystkich prostych przechodzących przez punkt A i oznaczamy ( A ). |
Strona 1 z 2