pitagoras.info - Tablice matematyczne

Home Tablice matematyczneGeometria

Uwaga! Dział w budowie.

Pojęcie pierwotne i aksjomat

● Pojęcie, które przyjmuje się bez definicji nazywamy pojęciem pierwotnym.

● Pojęcie pierwotne w geometrii, to punkt, prosta, płaszczyzna, przestrzeń.

● Aksjomat to zdanie, którego prawdziwość przyjmuje się bez dowodu.

Przykłady aksjomatów w geometrii płaszczyzny:

rownol

- Przez każdy punkt płaszczyzny przechodzi nieskończenie wiele prostych.
- Przez każde dwa różne punkty przechodzi dokładnie jedna prosta.
- Przez punkt nie leżący na prostej l przechodzi dokładnie jedna prosta k równoległa do prostej l , to tzw. aksjomat Euklidesa.

Przykłady aksjomatów w geometrii przestrzeni:

- Przez każde dwa punkty przestrzeni przechodzi nieskończenie wiele płaszczyzn.
- Przez każde trzy punkty, nie należące do jednej prostej, przechodzi dokładnie jedna płaszczyzna.
- Przez punkt nie leżący na płaszczyźnie α przechodzi dokładnie jedna płaszczyzna β równoległa do płaszczyzny α .

Figury geometryczne

Figura płaska

● Każdy zbiór punktów płaszczyzny nazywamy figurą.
● Figura płaska jest ograniczona, gdy istnieje koło, w którym ta figura się zawiera.
● Figura płaska jest nieograniczona, gdy nie jest zawarta w żadnym kole.

Figura przestrzenna

● Każdy zbiór punktów przestrzeni nazywamy figurą przestrzenną.
● Figura przestrzenna jest ograniczona, gdy istnieje kula, w której ta figura się zawiera.
● Figura przestrzenna jest nieograniczona, gdy nie jest zawarta w żadnej kuli.

Figura wypukła

● Figurę nazywamy wypukłą jeżeli każdy odcinek, którego końce należą do figury zawiera się w tej figurze.

Figury przystające

● Figury f₁ i f₂ nazywamy figurami przystającymi ( f₁ ≡ f₂ ), gdy istnieje izometria przekształcająca figurę f₁
na figurę f₂ .

Figury podobne

● Figury f₁ i f₂ nazywamy figurami podobnymi ( f₁ ~ f₂ ), gdy istnieje podobieństwo przekształcające figurę f₁
na figurę f₂ .

Współrzędne punktu i odległość między punktami

Współrzędne punktu

punkty oznaczamy : A, B, C ... , A = ( x_A ,y_A ) - punkt A o współrzędnych x_A , y_A.

Na osi:

Na płaszczyźnie:

W przestrzeni:

Odległość między dwoma punktami

● Odległość między dwoma punktami A i B oznaczamy symbolem |AB|

● Dla dowolnych punktów A, B, C :
	•\|AB\|R₊{0}	•\|AB\|= \|BA\|
	•\|AB\|= 0 wtedy i tylko wtedy gdy A = B	•\|AB\|≤ \|AC\|+\|CB\|( nierówność trójkąta )

● Punkt C leży między punktami A i B , gdy |AB|= |AC|+|CB|

● Trzy punkty A, B, C są współliniowe - to znaczy leżą na jednej prostej - jeśli spełniony jest jeden z trzech warunków:

|AC|= |AB| + |BC|

lub

|AB|= |AC| + |CB|

lub

|BC|= |BA| + |AC|

Odległość punktów w układzie współrzędnych

Na płaszczyźnie:

W przestrzeni:

Odległość punktu od prostej

Odległość punktu od prostej
● Odległość d punktu P od prostej l jest równa odległości tego punktu od jego rzutu prostokątnego P' na prostą l.
Odległość punktu od prostej w układzie współrzędnych na płaszczyźnie
równanie prostej l : Ax + By + C = 0 gdzie A² + B ² > 0 Jeżeli \| P,l \| = \| PP' \| = d , to

Równania prostej na płaszczyźnie

Równanie ogólne prostej
postać równania l : Ax + By + C = 0 A, B, C - współczynniki liczbowe równania prostej, gdzie: A, B, C R , A² + B ² > 0 Jeżeli B ≠ 0 , to l : . Jeżeli B = 0 , to l : (prosta l jest równoległa do OY ) Jeżeli B ≠ 0 i A = 0 , to l : (prosta l jest równoległa do OX )	l : Ax + By + C = 0
Równanie kierunkowe prostej
postać równania l : y = ax + b gdzie: , , gdy B ≠ 0 A, B, C - współczynniki liczbowe równania prostej w postaci ogólnej. a = tgα - współczynnik kierunkowy
● Równania prostej prostopadłej do osi OX nie można przedstawić w postaci kierunkowej.
Równanie prostej przechodzącej przez punkt A płaszczyzny
postać równania l : y − y_A = a ( x − x_A ) a - współczynnik kierunkowy prostej l . a = tgα
Równanie prostej przechodzącej przez dwa różne punkty A i B płaszczyzny
postać równania prostej l : gdy :
postać równania prostej k : x = a , gdy: x_A = x_B = a

Położenie prostych na płaszczyźnie i w przestrzeni

Proste przecinające się
● Prostymi przecinającymi się nazywamy proste, które mają dokładnie jeden punkt wspólny.
Proste równoległe
● Prostymi równoległymi nazywamy proste, które leżą na jednej płaszczyźnie i nie mają punktów wspólnych albo proste, które się pokrywają.
● Proste pokrywające się to proste, które mają wszystkie punkty wspólne.
Proste skośne
● Proste l i k w przestrzeni nazywamy skośnymi, jeżeli nie leżą na jednej płaszczyźnie - nie mają punktów wspólnych i nie są równoległe.
● Proste leżące na jednej płaszczyźnie mogą być równoległe lub przecinające się.
● Proste w przestrzeni mogą być równoległe, przecinające się lub skośne.
Kierunek prostych
● Zbiór wszystkich prostych równoległych do prostej l nazywamy kierunkiem prostej l i oznaczamy ( l ).
Pęk prostych
● Pękiem prostych o wierzchołku A nazywamy zbiór wszystkich prostych przechodzących przez punkt A i oznaczamy ( A ).