Pojęcie funkcji

Stosowane oznaczenia

X = Df - dziedzina funkcji f, zbiór argumentów funkcji

Y - przeciwdziedzina funkcji, f : X Y

f - zbiór wartości funkcji f, f ( Df ) = f

x - argument funkcji f, zmienna niezależna

y, f ( x ) - wartość funkcji f, zmienna zależna

f, g, h ... - symbole funkcji

Pojęcie funkcji
f : X Y

odwzorowanie zbioru  X w zbiór Y

Funkcją  f odwzorowującą zbiór X w zbiór Y nazywamy takie przyporządkowanie, które każdemu elementowi x ze zbioru X przyporządkowuje dokładnie jeden element y ze zbioru Y .

Odwzorowując w sposób opisany zbiór X w zbiór Y tworzymy zbiór uporządkowanych par ( x, y ), czyli par ( x, f ( x )),
gdzie   X i  y Y .

Zbiór tych par jest podzbiorem iloczynu kartezjańskiego X × Y

f : X Y

odwzorowanie zbioru X na zbiór Y

Jeżeli  f : X Y f = Y , to mówimy, że funkcja f odwzorowuje zbiór  X na zbiór Y .

Zbiór wartości funkcji

Jeżeli  f : X Y to zbiór f Y złożony z tych elementów y Y ,
dla których istnieje x X takie, że y = f ( x ), nazywamy zbiorem wartości funkcji  f .

Jeżeli X R Y R , to obrazem graficznym zbioru wartości

funkcji f : X Y jest rzut prostokątny jej wykresu na oś Y .

 

 

Miejsca zerowe funkcji

Miejsca zerowe funkcji

Miejscem zerowym funkcji y = f ( x ) nazywamy każdą wartość argumentu x, dla której wartość funkcji y równa jest zero.

Miejsce zerowe funkcji y = f ( x ) wyznaczamy rozwiązując równanie f ( x ) = 0 , gdzie x Df .

Każde rozwiązanie równania f ( x ) = 0 należące do Df jest miejscem zerowym funkcji  f .

Miejsce zerowe funkcji   f jest równe odciętej punktu wykresu funkcji leżącego na osi X .

 

Równość funkcji

Równość funkcji

Dwie funkcje f g są równe wtedy i tylko wtedy, gdy:

Df = Dg = D i    f ( x ) = g ( x ) dla każdego x D

 

Funkcja różnowartościowa

Funkcja różnowartościowa

Funkcję f : X Y, która każdej parze różnych argumentów przyporządkowuje różne wartości, to znaczy taką,

że x1 x2 f ( x1 ) f ( x2 ) nazywamy funkcją różnowartościową.

Określając różnowartościowość funkcji  f sprawdzamy, czy spełniony jest warunek  f ( x1 ) f ( x2 ) 0
przy założeniu x1 x2 0 .

Jeżeli funkcja f jest różnowartościowa, to każda prosta y = m ( gdzie m R ) ma co najwyżej jeden punkt wspólny z wykresem funkcji f .

Każda funkcja ściśle monotoniczna jest różnowartościowa.

 

Funcja odwrotna

Funkcja odwrotna

Jeśli funkcja  f : X Y, jest różnowartościowa i odwzorowuje zbiór X na zbiór Y ( Y = f ) ,

to funkcję f −1 : Y X określoną następująco:

dla dowolnego  y Y wartością  f 1 ( y ) jest jedyny element x X

taki, że f ( x ) = y , nazywamy odwrotną do funkcji f.

f 1 ( y ) = x f ( x ) = y

Funkcją odwrotną do  f −1 jest funkcja  f .

Jeżeli funkcja f ma funkcję odwrotną f 1 , to funkcję f nazywamy funkcją odwracalną.

 

Działania na funkcjach

Działania na funkcjach

Działania na funkcjach  f i g można wykonywać gdy mają one jednakowe dziedziny.

gdy x Df i k R

gdy x Df Dg

gdy x Df Dg

gdy x Df Dg

gdy x Df Dg \ { x: g ( x ) = 0 }

 
Free business joomla templates

Informujemy, iż w celu optymalizacji treści dostępnych w naszym serwisie, dostosowania ich do Państwa indywidualnych potrzeb korzystamy z informacji zapisanych za pomocą plików cookies na urządzeniach końcowych użytkowników. Pliki cookies użytkownik może kontrolować za pomocą ustawień swojej przeglądarki internetowej. Dalsze korzystanie z naszego serwisu internetowego, bez zmiany ustawień przeglądarki internetowej oznacza, iż użytkownik akceptuje stosowanie plików cookies. Więcej na ten temat można przeczytać w polityce prywatności.